Question

17．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|．
（1）若不等式f（x）≥5的解集為{x|x≤-2或x≥3}，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）≥1-|x+1|恒成立，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由條件求得f（x）=|2x-a|≥5的解集，再根據(jù)它的解集為{x|x≤-2或x≥3}，求得a的值．
（2）由題意可得|x+1|+|2x-a|≥1 恒成立．設g（x）=|x+1|+|2x-a|，則g（x）_min≥1．分類討論，求得g（x）的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=|2x-a|≥5，可得 2x-a≥5，或2x-a≤-5，
求得它的解集為{x|x≥$\frac{a+5}{2}$，或x≤$\frac{a-5}{2}$}．
再根據(jù)它的解集為{x|x≤-2或x≥3}，可得$\frac{a+5}{2}$=3，且 $\frac{a-5}{2}$=-2，求得a=1．
（2）若f（x）≥1-|x+1|恒成立，則|x+1|+|2x-a|≥1 恒成立．
設g（x）=|x+1|+|2x-a|，由題意可得，g（x）_min≥1．
①當$\frac{a}{2}$＜-1時，即a＜-2時，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-1-3x，x＜\frac{a}{2}}\\{x-a-1，\frac{a}{2}≤x≤-1}\\{3x+1-a，x≥-1}\end{array}\right.$，由單調性求得g（x）的最小值為g（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{a}{2}$-1，
∴-$\frac{a}{2}$-1≥1，求得a≤-4，故此時，a的范圍為{a|a≤-4 }．
②當$\frac{a}{2}$＞-1時，即a＞-2時，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-1-3x，x＜-1}\\{a+1-x，-1≤x≤\frac{a}{2}}\\{3x+1-a，x＞\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，由單調性求得g（x）的最小值為g（$\frac{a}{2}$）=$\frac{a}{2}$+1，
∴$\frac{a}{2}$+1≥1，求得a≥0，故此時，a的范圍為∅．
③當$\frac{a}{2}$=-1時，即a=-2時，g（x）=3|x+1|≥0，不滿足g（x）_min≥1．
綜上可得，a的范圍為{a|a≤-4 }．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，利用單調性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．