Question

17．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為AC的中點(diǎn)，∠ABC=90°，AA₁=AB=2，BC=3．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求三棱錐D-BC₁C的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B₁C與BC₁相交于點(diǎn)O，連接OD，則由中位線(xiàn)定理可知OD∥AB₁，故而AB₁∥平面BC₁D；
（2）把△BCD看做棱錐的底面，則棱錐的高為CC₁，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）證明：設(shè)B₁C與BC₁相交于點(diǎn)O，連接OD．
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形
∴點(diǎn)O為B₁C的中點(diǎn)，又D為AC的中點(diǎn)
∴OD∥AB₁．
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D
∴AB₁∥平面BC₁D．
（2）在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，側(cè)棱CC₁⊥平面ABC
故CC₁為三棱錐C₁-BCD的高，CC₁=A₁A=2．
∵D為AC的中點(diǎn)，∠ABC=90°
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$BC×AB）=$\frac{3}{2}$．
∴V_D-BC1C=V_C1-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•CC₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$×2=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．