Question

3．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分別是A₁B₁，A₁C₁的中點，BC=CA=CC₁，則BM與AN所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{70}}{10}$．

Answer 1

分析 已知ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，取BC的中點0，連接A0，NM，BM，BM∥NO，BC∥NM，那么AN和NO所成角即為BM與AN所成角．求出邊長，利用余弦定理求解角的大�。�

解答 解：∵M，N分別是A₁B₁，A₁C₁的中點，
取BC的中點0，連接AO，NM，BM，
∴BM∥NO，BC∥NM且BC=2NM，
那么AN和NO所成角即為BM與AN所成角．
∵設(shè)BC=CC₁=CA=2，∠BCA=90°，ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴AO=$\sqrt{5}$，AN=$\sqrt{5}$，BM=NO=$\sqrt{6}$
cos∠ANO=$\frac{A{N}^{2}+N{O}^{2}-A{O}^{2}}{2AN•NO}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$
sin∠ANO=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ANO}=\frac{\sqrt{70}}{10}$．
故答案為$\frac{\sqrt{70}}{10}$．

點評 本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．