Question

4．已知S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和且a₁=3，S_n=n²+Bn+C（其中B，C為常數(shù)）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．求證：$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易知C=0，從而結(jié)合a₁=S₁=1+B=3，解出B；再由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)b_n=$\frac{4}{（2n+1-1）（2n+3-1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，從而利用裂項(xiàng)求和法即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=n²+Bn+C，
∴C=0，
又∵a₁=S₁=1+B=3，
∴B=2，
∴S_n=n²+2n，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（（n-1）²+2（n-1））=2n+1，
且a₁=3也滿足a_n=2n+1，
故a_n=2n+1；
（Ⅱ）證明：b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{4}{（2n+1-1）（2n+3-1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=1-$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{n+1}$＜1，
即$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．