Question

【題目】已知是實(shí)數(shù)，函數(shù).

（1）若，求的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由求出的值，可得出函數(shù)的解析式，再求出的值，最后利用點(diǎn)斜式寫出所求切線的方程；

（2）對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)，解方程得出和，考查與區(qū)間的位置關(guān)系，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

（1），，則，，

，則，

因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；

（2），，令，得，.

①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；

②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，

若，則；若時(shí)，.

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即；

③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，.

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則.

綜上所述：.