已知函數(shù)f(x)=(x-2)2,設a1=3,an+1=an-
f(an)
2an-4

(1)證明:數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn
考點:數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列,結合等比數(shù)列的通項公式即可求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求出bn=nan的通項公式,利用錯位相減法即可求數(shù)列{bn}的前n項和Sn
解答: (1)證明:∵an+1=an-
f(an)
2an-4
,f(x)=(x-2)2,
∴an+1=an-
f(an)
2an-4
=an-
(an-2)2
2(an-2)
=
1
2
an+1

即an+1-2
1
2
an+1-2=
1
2
(an-2)
,
即數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列,首項為a1-2=3-2=1,公比q=
1
2
的等比數(shù)列,
則an-2=(
1
2
)n-1
,即an=(
1
2
)n-1
+2,
(2)bn=nan=
n
2n-1
+2n
,
數(shù)列{bn}的前n項和Sn=(
1
20
+
2
21
+
3
22
+…+
n
2n-1
)
+2(1+2+3+…+n)=(
1
20
+
2
21
+
3
22
+…+
n
2n-1
)
+n2+n,
令Tn=(
1
20
+
2
21
+
3
22
+…+
n
2n-1
)
,
1
2
Tn=
1
2
+
2
22
+…+
n
2n
,
兩式相減得
1
2
Tn=1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
-
n
2n
=
1-
1
2n
1-
1
2
-
n
2n
=2(1-
1
2n
)-
n
2n
,
即Tn=4(1-
1
2n
-
n
2n
=4-
n+2
2n-1
,
故Sn=Tn+n2+n=4-
n+2
2n-1
+n2+n.
點評:本題主要考查等比數(shù)列的判斷以及數(shù)列求和,利用錯位相減法是解決本題的關鍵.綜合性較強,有一定的難度.
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1
3
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1
2
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,
4
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x2
a2
+
y2
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1
2
,點(1,
3
4
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x-1
+
1
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