Question

已知函數(shù)f（x）=2（sinx-cosx）cosx+1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，從而求得它的周期．
（2）根據(jù)f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

3π

8

，

3π

4

]上為減函數(shù)，從而求得函數(shù)的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f(x)=2(sinx-cosx)cosx+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
（2）因?yàn)?span id="3lxz1rb" class="MathJye">f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

3π

8

，

3π

4

]上為減函數(shù)，
又f(

π

8

)=0，f(

3π

8

)=

2

，f(

3π

4

)=

2

sin(

3π

2

-

π

4

)=-

2

cos

π

4

=-1，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最大值為

2

，最小值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和最值，屬于基礎(chǔ)題．