Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+a是奇函數(shù)．
（1）求a的值和函數(shù)f（x）的定義域；
（2）用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）解不等式f（-m²+2m-1）+f（m²+3）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程即可求出a，根據(jù)分式函數(shù)的意義即可求出函數(shù)的定義域．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)出變量，利用作差法進行證明即可．
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則2^x-1≠0，即2^x≠1，即x≠0，
則函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a是奇函數(shù)，可得f（x）+f（-x）=0，
∴$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a+$\frac{1}{{{2^{-x}}-1}}$+a=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$，
則f（x）在（0，+∞）上都是減函數(shù)，證明如下
任取x₁＜x₂則
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}-1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$
當(dāng)x₁，x₂∈（0，+∞）時，${2}^{{x}_{1}}-1$＞0，${2}^{{x}_{2}}-1$＞0，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，
所以$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
則f（x）=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴由f（-m²+2m-1）+f（m²+3）＜0
得f（m²+3）＜-f（-m²+2m-1）=f（m²-2m+1），
∵m²+3＞0，m²-2m+1=（m-1）²≥0，
∴m²+3＞m²-2m+1，且（m-1）²≠0
即2m＞-2且m≠1，得m＞-1且m≠1．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的證明方法定義法，解題的關(guān)鍵是理解奇函數(shù)的定義及單調(diào)性的證明方法，本題的重點是單調(diào)性的證明，其中判斷符號是難點．