Question

8．設(shè)f（x）=x³+ax²+bx+1的導函數(shù)f′（x）滿足f′（x）=2a，f′（2）=-b，
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=f′（x）e^x，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我們根據(jù)求函數(shù)導函數(shù)的公式，易求出導數(shù)f'（x），結(jié)合f'（1）=2a，f'（2）=-b，計算出參數(shù)a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入點斜式方程，即可得到曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）因為f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f'（x）=3x²+2ax+b．…..（2分）
令x=1得f'（1）=3+2a+b．
由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=-3．
又令x=2得f'（2）=12+4a+b．
由已知f'（2）=-b，所以12+4a+b=-b，解得a=-$\frac{3}{2}$．…..（4分）
所以f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-3x+1，f（1）=-$\frac{5}{2}$．
又因為f′（1）=-3，…．（6分）
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-（-$\frac{5}{2}$）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．…..（8分）
（2）g（x）=f′（x）e^x=（3x²-3x-3）e^x，∴g′（x）=3（x-1）（x+2）e^x，
由g′（x）＞0，可得x＜-2或x＞1，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2），（1，+∞）
由g′（x）＜0，可得-2＜x＜1，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，1）．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及方程組的求解等有關(guān)問題，屬于中檔題．