Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為的正方形，.

（1）求證：；

（2）若，分別為，的中點(diǎn)，平面，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)、錐體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問，利用線面垂直的判定定理，先證出平面，利用線面垂直的性質(zhì)定理得，在中再證明；第二問， 用體積轉(zhuǎn)化法，將轉(zhuǎn)化為，證明出是錐體的高，再利用錐體的個(gè)數(shù)求解.

試題解析：（Ⅰ）連接交于點(diǎn)，

因?yàn)榈酌?/span>是正方形，

所以且為的中點(diǎn).

又

所以平面，

由于平面,故.

又,故.

（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為,連接,∥=,

所以為平行四邊形，∥，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面，所以,的中點(diǎn)為,

所以.

由平面，又可得，

又，又

所以平面

所以,又,

所以平面

（注意：沒有證明出平面，直接運(yùn)用這一結(jié)論的，后續(xù)過程不給分）

故三棱錐D-ACE的體積為.