Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-12x，x＞t}\\{（a-1）x+2，x≤t}\end{array}\right.$，如果對(duì)一切實(shí)數(shù)t，函數(shù)f（x）在R上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤1．

Answer 1

分析 通過討論t的范圍，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出a的范圍即可．

解答 解：x＞t時(shí)：f（x）=x³-12x，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
t＜-2時(shí)，f（x）在（t，-2）遞增，在（-2，2）遞減，在（2，+∞）遞增，f（x）不單調(diào)，
-2≤t≤2時(shí)，f（x）在（t，2）遞減，在（2，+∞）遞增，f（x）不單調(diào)，
t＞2時(shí)，f（x）在（t，+∞）單調(diào)遞增，
如果對(duì)一切實(shí)數(shù)t，函數(shù)f（x）在R上不單調(diào)，
只需f（x）=（a-1）x+2在（-∞，t]遞減，
即a-1＜0，解得：a＜1，顯然a=1時(shí)，符合題意，
故答案為：a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．