Question

19．以AB為直徑的半圓，|$\overrightarrow{AB}$|=2，O為圓心，C是$\widehat{AB}$上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)是$\widehat{AB}$上的某一點(diǎn)，若$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{OF}$，則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=$-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，并連接OC，根據(jù)條件可得出∠COA=∠FOB=60°，并且OC=OF=1，這樣即可求出點(diǎn)A，B，C，F(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{BC}$的坐標(biāo)，從而得出$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，
建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
連接OC，據(jù)題意，∠COA=60°；
∴∠CAO=FOB=60°；
且OC=OF=1；
∴$A（-1，0），F(xiàn)（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}），B（1，0），C（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{AF}=（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}），\overrightarrow{BC}=（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}=-\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{3}{2}$．
故答案為：$-\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查等弧所對(duì)的圓心角相等，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，以及根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)的方法，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．