Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+2-a_n+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜2n+$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)a_n和S_n的關(guān)系，即可求解數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由b_n=2+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），即可利用裂項(xiàng)相消求解數(shù)列的和，得以證明．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$-$\frac{{（n-1）}^{2}}{2}$-$\frac{3（n-1）}{2}$
=n+1，
又n=1時(shí)，
a₁=S₁=2適合a_n=n+1，
∴a_n=n+1
（2）證明：由（1）知：
b_n=n+3-（n+1）+$\frac{1}{（n+3）（n+1）}$
=2+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=2n+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）
=2n+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）
＜2n+$\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n與前n項(xiàng)和S_n公式的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)列求和公式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．