Question

記min{a，b，c}為a，b，c中最小值，若x，y是任意正實數(shù)，則M=min{x，

1

y

，y+

1

x

}的最大值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：設a=x，b=

1

y

，c=y+

1

x

=

1

a

+

1

b

．都大于0．不妨設a≤b．可得

1

b

+

1

b

-b≤c-a=

1

a

+

1

b

-a≤

1

a

+

1

a

-a．即

2-b2

b

≤c-a≤

2-a2

a

．對a與

2

的大小分類討論即可得出．

解答： 解：設a=x，b=

1

y

，c=y+

1

x

=

1

a

+

1

b

．都大于0．
不妨設a≤b．則

1

a

≥

1

b

．
則

1

b

+

1

b

-b≤c-a=

1

a

+

1

b

-a≤

1

a

+

1

a

-a．
∴

2-b2

b

≤c-a≤

2-a2

a

．
①當a≥

2

時，c≤a，此時c最�。�
②當0＜a＜

2

，c-a≥0，此時a最小，M≤

2

．
綜上可得：M的最大值為：

2

．

點評：本題考查了不等式的性質、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．