Question

已知函數(shù)f（x）=x-

4

x

（1）判斷并證明f（x）的奇偶性
（2）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明f（x）的奇偶性
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

解答： 解：（1）f（x）是奇函數(shù)…．…．…．…（2分）
證明：由已知函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）  …．…．…．…（3分）
又f（-x）=-x+

4

x

=-（x-

4

x

）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．…．…．…．…..…（6分）
（2）證明：在區(qū)間（0，+∞）上任取兩實(shí)數(shù)x₁，x₂且x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁-

4

x1

-（x₂-

4

x2

）=（x₁-x₂）•

x1x2+4

x1x2

）   …（9分）
因?yàn)閤₁＞x₂＞0，所以x₁-x₂＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂）…..…（11分）
因此f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．…．…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．