Question

【題目】已知點是橢圓C：上的一點，橢圓C的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，斜率為直線l交橢圓C于B，D兩點，且A、B、D三點互不重合．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若分別為直線AB，AD的斜率，求證：為定值。

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）根據橢圓的定義和幾何性質，建立方程，即可求橢圓C的方程；

（2）設直線BD的方程為，代入橢圓方程，設D（x1，y1），B（x2，y2），直線AB、AD的斜率分別為：，則，由此導出結果.

（1）由題意，可得e==，代入A（1，）得，

又，解得，

所以橢圓C的方程．

（2）證明：設直線BD的方程為y=x+m，

又A、B、D三點不重合，∴，

設D（x1，y1），B（x2，y2），

則由得4x2+2mx+m2-4=0

所以△=-8m2+64＞0，所以＜m＜．

x1+x2=-m，

設直線AB、AD的斜率分別為：kAB、kAD，

則kAD+kAB=

=

所以kAD+kAB=0，即直線AB，AD的斜率之和為定值．