Question

8．點P在橢圓3x²+y²=12上，OP傾斜角為60°，AB∥OP，A，B在橢圓上且都在x軸上方，求△ABP面積的最大值及此時直線AB的方程．

Answer 1

分析 設直線OP的方程為y=$\sqrt{3}$x，代入橢圓方程，求得P的坐標，再設直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x+m）（m＞0），代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，求得m的范圍，再由弦長公式可得|AB|，再求P到直線AB的距離，運用三角形的面積公式，結合基本不等式，即可得到最大值及對應的m的值，可得直線AB的方程．

解答 解：設直線OP的方程為y=$\sqrt{3}$x，代入橢圓方程3x²+y²=12，
可得x=$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{6}$，即有P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
設直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x+m）（m＞0），代入橢圓方程可得，
2x²+2mx+m²-4=0，由△=4m²-8（m²-4）＞0，解得0＜m＜2$\sqrt{2}$，
x₁+x₂=-m，x₁x₂=$\frac{1}{2}$（m²-4），
即有|AB|=$\sqrt{1+3}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{{m}^{2}-2（{m}^{2}-4）}$
=2$\sqrt{8-{m}^{2}}$，
又P到直線AB的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}（\sqrt{2}+m）-\sqrt{6}|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|m|，
即有S_△ABP=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|m|•$\sqrt{8-{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{m}^{2}}$•$\sqrt{8-{m}^{2}}$
≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{{m}^{2}+8-{m}^{2}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
當且僅當m²=8-m²，解得m=2，△ABP的面積取得最大值2$\sqrt{3}$，
此時直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x+2）．

點評 本題考查橢圓的方程的運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查面積的最大值，注意運用基本不等式，屬于中檔題．