Question

6．由y=x²和y=2x圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為$\frac{64}{15}π$．

Answer 1

分析 求出曲線y=x²與直線y=2x交點O、A的坐標，結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的積分計算公式，可得所求旋轉(zhuǎn)體的體積等于函數(shù)y=π（4x²-x⁴）在[0，2]上的積分值，再用定積分計算公式加以計算即可得到該旋轉(zhuǎn)體的體積．

解答 解：∵曲線y=x²與直線y=2x交于點O（0，0）和A（2，4）
∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的積分計算公式，可
該旋轉(zhuǎn)體的體積為V=${∫}_{0}^{2}π（4{x}^{2}-{x}^{4}）dx$=π（$\frac{4}{3}$x³-$\frac{1}{5}$x⁵）${|}_{0}^{2}$=$\frac{64}{15}π$．
故答案為：$\frac{64}{15}π$．

點評 本題給出曲線y=x²與直線y=2x所圍成的平面圖形，求該圖形繞x軸轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積．著重考查了利用定積分公式計算由曲邊圖形旋轉(zhuǎn)而成的幾何體體積的知識．