Question

18．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1），點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)（t，s）在函數(shù)y=g（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)，并且滿足$t=\frac{x}{3}，s=y$．
①求出y=g（x）的解析式．
②求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍．
③在②的范圍內(nèi)求y=g（x）-f（x）的最小值．

Answer 1

分析 ①根據(jù)變量關(guān)系利用代入法進(jìn)行求解即可．
②根據(jù)對(duì)數(shù)不等式的解法進(jìn)行求解即可．
③求出函數(shù)的解析式，結(jié)合分式函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：①∵$t=\frac{x}{3}，s=y$．
∴x=3t，y=s，
∵點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)，
∴s=log₂（3t+1），
即y=g（x）=log₂（3x+1）．
②由g（x）≥f（x）得log₂（3x+1）≥log₂（x+1）．
則$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{x+1＞0}\\{3x+1＞x+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-\frac{1}{3}}\\{x＞-1}\\{x＞0}\end{array}\right.$得x＞0，即實(shí)數(shù)x的取值范圍是（0，+∞）．
③當(dāng)x＞0時(shí)，y=g（x）-f（x）=log₂（3x+1）-log₂（x+1）
=log₂$\frac{3x+1}{x+1}$=log₂$\frac{3（x+1）-2}{x+1}$=log₂（3-$\frac{2}{x+1}$）≥log₂（3-$\frac{2}{1}$）=log₂1=0，
即函數(shù)y=g（x）-f（x）的最小值是0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．