由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表,用aij(i≥j)表示第i行第j個數(shù)(i,j∈N*),使ai1=aii=i,每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)的之和.設第n(n∈N*)行中各數(shù)之和為bn
(1)求b6;
(2)用bn表示bn+1
(3)試問:數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的關(guān)系;若不存在,請說明理由.

解:(1)b6=6+16+25+25+16+6=94.(2分)
(2)bn+1=a(n+1)1+a(n+1)2+…+a(n+1)(n+1)=n+1+(an1+an2)+…+(an(n-1)ann)+n+1=2(an1+an2+…+ann)+2
=2bn+2;(6分)
(3)∵bn+1=2bn+2,
∴bn+1+2=2(bn+2)(8分)
所以{bn+2}是以b1+2=3為首項,2為公比的等比數(shù)列,(9分)
則bn+2=3•2n-1?bn=3•2n-1-2.(11分)
若數(shù)列{bn}中存在不同的三項bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差數(shù)列,
不妨設p>q>r,顯然{bn}是遞增數(shù)列,則2bq=bp+br(12分)
即22(3•2q-1-2)=(3•2p-1-2)+(3•2r-1-2),化簡得:2•2q-r=2p-r+1(*)(14分)
由于p,q,r∈N*,且p>q>r,知q-r≥1,p-r≥2,
所以(*)式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
故數(shù)列{bn}中不存在不同的三項bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差數(shù)列.(16分)
分析:(1)注意觀察,尋找規(guī)律,求出b6
(2)bn+1=a(n+1)1+a(n+1)2+…+a(n+1)(n+1)=2(an1+an2+…+ann)+2
=2bn+2.
(3)由題設知bn+2=3•2n-1?bn=3•2n-1-2,設p>q>r,{bn}是遞增數(shù)列,由此能導出數(shù)列{bn}中不存在不同的三項bp,bq,br恰好成等差數(shù)列.
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意公式的靈活運用.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

20、由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表,用aij(i≥j)表示第i行第j個數(shù)(i,j∈N*),使ai1=aii=i,每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)的之和.設第n(n∈N*)行中各數(shù)之和為bn
(1)求b6;
(2)用bn表示bn+1
(3)試問:數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的關(guān)系;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本題滿分16分)

       由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表,用表示第行第個數(shù)(),

使,每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)的之和。設第

行中各數(shù)之和為。

   (1)求

   (2)用表示;

   (3)試問:數(shù)列中是否存在不同的三項,)恰好成等差數(shù)列?若存在,求出,的關(guān)系;若不存在,請說明理由。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本題滿分16分)

       由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表,用表示第行第個數(shù)(),

使,每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)的之和。設第

行中各數(shù)之和為

   (1)求;

   (2)用表示;

   (3)試問:數(shù)列中是否存在不同的三項,)恰好成等差數(shù)列?若存在,求出,的關(guān)系;若不存在,請說明理由。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010年江蘇省無錫市高三(上)期末數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表,用aij(i≥j)表示第i行第j個數(shù)(i,j∈N*),使ai1=aii=i,每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)的之和.設第n(n∈N*)行中各數(shù)之和為bn
(1)求b6
(2)用bn表示bn+1;
(3)試問:數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的關(guān)系;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010年廣東省深圳市寶安中學高考數(shù)學考前熱身訓練試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表,用aij(i≥j)表示第i行第j個數(shù)(i,j∈N*),使ai1=aii=i,每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)的之和.設第n(n∈N*)行中各數(shù)之和為bn
(1)求b6;
(2)用bn表示bn+1
(3)試問:數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的關(guān)系;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案