Question

14．若雙曲線$E：\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$的離心率等于$\sqrt{2}$，直線y=kx-1與雙曲線E的右支交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若$|{AB}|=6\sqrt{3}$，點(diǎn)c是雙曲線上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OC}=m（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，求k、m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，$b=1，\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，c²=a²+b²．基礎(chǔ)即可得出．
直線y=kx-1與雙曲線E聯(lián)立可得：（1-k²）x²+2kx-2=0．利用直線y=kx-1與雙曲線E的右支交于A、B兩點(diǎn)的特點(diǎn)即可得出．
（2）利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式可得k，再利用向量相等、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系即可得出m．

解答 解：（1）由題意可知，$b=1，\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，c²=a²+b²．
∴a=b=1，
∴雙曲線方程為E：x²-y²=1，
直線y=kx-1與雙曲線E聯(lián)立可得：（1-k²）x²+2kx-2=0．
則：$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△＞0\\ \frac{2k}{{{k^2}-1}}＞0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;⇒\;\;\;\;1＜k＜\sqrt{2}\\ \frac{2}{{{k^2}-1}}＞0\end{array}\right.$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-2}{1-{k}^{2}}$．
∵$|{AB}|=6\sqrt{3}$，∴$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=2$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（2-{k}^{2}）}{（{k}^{2}-1）^{2}}}$=6$\sqrt{3}$．
得：$28{k^4}-55{k^2}+25=0\;\;\;∴{k^2}=\frac{5}{7}或{k^2}=\frac{5}{4}$
又∵$1＜k＜\sqrt{2}\;\;\;\;∴\;k=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∵${x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{{k^2}-1}}=4\sqrt{5}\;\;\;\;\;\;{y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-2=8$．
設(shè)C（x₀，y₀），由$\overrightarrow{OC}=m（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，
∴（x₀，y₀）=$（4\sqrt{5}m，8m）$，∴$80{m^2}-64{m^2}=1⇒m=±\frac{1}{4}$，
∴$k=\frac{{\sqrt{5}}}{2}，m=±\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)問題、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．