Question

17．已知雙曲線mx²+ny²=1（mn＜0）的一條漸近線方程為y=2x，此雙曲線上的點（x₀，y₀）滿足${y}_{0}^{2}$＞4${x}_{0}^{2}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 運用雙曲線的漸近線方程，可得m=-4n，由條件${y}_{0}^{2}$＞4${x}_{0}^{2}$，可得n＞0，將雙曲線的方程化為標準方程，求得a，c，由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：雙曲線mx²+ny²=1（mn＜0）的漸近線方程為
mx²+ny²=0（mn＜0），
由漸近線方程為y=2x，可得m=-4n，
雙曲線上的點（x₀，y₀）滿足${y}_{0}^{2}$＞4${x}_{0}^{2}$，
即有ny₀²-4nx₀²=1，即為${y}_{0}^{2}$=4${x}_{0}^{2}$+$\frac{1}{n}$＞4${x}_{0}^{2}$，
即有n＞0，
則雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4n}}$=1，
可得a=$\sqrt{\frac{1}{n}}$，c=$\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{4n}}$=$\sqrt{\frac{5}{4n}}$，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查漸近線方程的運用，注意由條件判斷n＞0，是解題的關鍵．