Question

5．設(shè)x∈（0，$\frac{π}{2}$），若$\frac{1}{sinx}$+$\frac{1}{cosx}$=2$\sqrt{2}$，則sin（2x+$\frac{π}{3}$）=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系式進行化簡，結(jié)合兩角和差的正弦公式進行求解即可．

解答 解：由$\frac{1}{sinx}$+$\frac{1}{cosx}$=2$\sqrt{2}$，得$\frac{sinx+cosx}{sinxcosx}$=2$\sqrt{2}$，
即sinx+cosx=2$\sqrt{2}$sinxcosx，
平方得1+sin2x=（$\sqrt{2}$sin2x）²=2sin²2x，
即2sin²2x-sin2x-1=0，
得sin2x=1或sin2x=-$\frac{1}{2}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2x∈（0，π），
則sin2x＞0，
則sin2x=1，則2x=$\frac{π}{2}$，
則sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求值，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系以及兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵．