Question

3．如表提供了甲產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與利潤y（萬元）的幾組對照數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）計算相關指數(shù)R²的值，并判斷線性模型擬合的效果．
參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$，R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先做出x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果；
（Ⅱ）直接根據(jù)相關指數(shù)公式進行求解即可．

解答 解：（1）∵由題意知$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=0.7，
∴b=$\frac{1.5×1+0.5×0.5+0.5×0.5+1.5×1}{1．{5}^{2}+0．{5}^{2}+0．{5}^{2}+1．{5}^{2}}$=0.7，
a=3.5-4.5×0.7=0.35，
∴線性回歸方程是y=0.7x+0.35，
（Ⅱ）相關指數(shù)R²=1-$\frac{（2.5-2.45）^{2}+（3-3.15）^{2}+（4-3.85）^{2}+（4.5-4.55）^{2}}{（2.5-0.7）^{2}+（3-0.7）^{2}+（4-0.7）^{2}+（4.5-0.7）^{2}}$≈1-0.0013=0.9987，
∴解釋變量對預報變量的貢獻率為99.87%．

點評 本題重點考查了線性回歸直線方程及其求解，相關指數(shù)的計算等知識，屬于中檔題．考查運算求解能力．