Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，且a_n+1=λS_n-S_n+1，其中λ是常數(shù)，若{a_n}是遞增數(shù)列，則λ的取值范圍是λ＞3．

Answer 1

分析 通過a_n+1=λS_n-S_n+1與a_n+2=λS_n+1-S_n+2作差，整理可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{λ+1}{2}$，進而可知λ＞1（n≥2），令n=1同理可知λ＞3，進而可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=λS_n-S_n+1，
∴a_n+2=λS_n+1-S_n+2，
兩式相減得：a_n+2-a_n+1=λa_n+1-a_n+2，
整理得：2a_n+2=（λ+1）a_n+1，即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{λ+1}{2}$，
依題意$\frac{λ+1}{2}$＞1，即λ＞1（n≥2），
又∵a₂=λS₁-S₂，
∴2a₂=（λ-1）a₁，即$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{λ-1}{2}$，
依題意，$\frac{λ-1}{2}$＞1，即λ＞3，
綜上所述，λ＞3，
故答案為：λ＞3．

點評 本題考查數(shù)列的單調(diào)性，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．