Question

18．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{-{x}^{2}+2x+8}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知，真數(shù)要大于0，可得f（x）的定義域；
（2）設(shè)u=-x²+2x+8，對數(shù)的底數(shù)小于1，根據(jù)性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$是減函數(shù)，求出u的值域，可得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{-{x}^{2}+2x+8}$．
定義域需滿足：$\sqrt{-{x}^{2}+2x+8}＞0$，即-x²+2x+8＞0
解得：-2＜x＜4
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|-2＜x＜4}
（2）設(shè)u=-x²+2x+8，對數(shù)的底數(shù)小于1，根據(jù)性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$是減函數(shù)，
函數(shù)u=-x²+2x+8=-（x+1）²+9，t=$\sqrt{u}$
∴0＜u≤9
∴0＜t≤3，
∵f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$在（0，+∞）減函數(shù)，
∴f（x）的值域是[$lo{g}_{\frac{1}{2}}3$，+∞）

點(diǎn)評 本題考查了不等式的計(jì)算和對數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，單調(diào)性的求解值域的問題．屬于基礎(chǔ)題．