Question

已知函數(shù)f（a）=a+

1

a-2

，a∈（2，+∞）；g（b）=

-b2+2b+8

，b∈R．
（1）試比較f（a）與g（b）大�。�
（2）若f（a）-1=g（b）成立，求a，b值．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運算,不等式比較大小

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）判斷f（a）的單調(diào)性以及g（b）的單調(diào)性，求出兩個函數(shù)的最值，即可比較大��；
（2）利用（1）的結(jié)果，直接通過f（a）-1=g（b）成立，利用函數(shù)的最值，求a，b值．

解答： 解：（1）設(shè)a₁、a₂∈（2，+∞）且a₁＜a₂．
∴f(a1)=a1+

1

a1-2

；f(a2)=a2+

1

a2-2

f(a1)-f(a2)=a1+

1

a1-2

-a2-

1

a2-2

=(a1-a2)+(

1

a1-2

-

1

a2-2

)
=(a1-a2)+[

a2-a1

(a1-2)(a2-2)

]=(a2-a1)[

1-(a1-2)(a2-2)

(a1-2)(a2-2)

]．
∵2＜a₁＜a₂．∴a₂-a₁＞0  a₁-2＞0，a₂-2＞0∴（a₁-2）（a₂-2）＞0
當(dāng)a₁、a₂∈（2，3）時 
 0＜（a₁-2）（a₂-2）＜1
∴(a2-a1)[

1-(a1-2)(a2-2)

(a1-2)(a2-2)

]＞0
∴f（a₁）-f（a₂）＞0∴f（a₁）＞f（a₂）
∴f(a)=a+

1

a-2

在（2，3）單調(diào)遞減．
當(dāng)a₁、a₂∈（3，+∞）時  
 1＜（a₁-2）（a₂-2）
∴(a2-a1)[

1-(a1-2)(a2-2)

(a1-2)(a2-2)

]＜0
∴f（a₁）-f（a₂）＜0∴f（a₁）＜f（a₂）∴f(a)=a+

1

a-2

在（3，+∞）單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=3時，f(a)=a+

1

a-2

有最小值f(3)=3+

1

3-2

=4
又g(b)=

-b2+2b+8

=

-(b-1)2+9

≤3∴g（b）有最大值g（1）=3
∵g（b）_max=3＜f（a）_min=4
∴f（a）＞g（b）
（2）由（1）問可知：f（a）-1≥3，g（b）≤3；
若使f（a）-1=g（b）成立，
則只有f（a）-1=g（b）=3，
此時a=3，b=1

點評：本題考查函數(shù)的最值的求法，單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．