Question

已知函數(shù)f（x）=3x²-kx-8，x∈[1，5]．
（1）當k=12時，求f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）具有單調(diào)性，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）只要將k=12代入解析式，然后配方，明確區(qū)間[1，5]被對稱軸分為兩個單調(diào)區(qū)間后的單調(diào)性，然后求最值；
（2）若使f（x）在區(qū)間[1，5]上具有單調(diào)性，只要將原函數(shù)配方，使區(qū)間[1，5]在對稱軸的一側(cè)即可，得到關(guān)于k的不等式解之．

解答： 解：（1）當K=12時，f（x）=3（x-2）²-20，x∈[1，5]，
f（x）在[1，2]是減函數(shù)，在[2，5]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=-20，又f（1）＜f（5），且f（5）=7，
∴f（x）在[1，5]的值域為：[-20，7]；
（2）由已知，f（x）=3(x-

k

6

)2-

k2

12

-8，x∈[1，5]，
若使f（x）在區(qū)間[1，5]上具有單調(diào)性，
當且僅當

k

6

≤1，或者

k

6

≥5，
解得k≤6或者k≥30，
∴實數(shù)k的求值范圍為（-∞，6]∪[30，+∞）．

點評：本題考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上的值域的求法以及二次函數(shù)性質(zhì)的運用；求二次函數(shù)閉區(qū)間的最值，必須注意對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．