Question

【題目】某校高二八班選出甲、乙、丙三名同學(xué)參加級(jí)部組織的科學(xué)知識(shí)競(jìng)賽．在該次競(jìng)賽中只設(shè)成績(jī)優(yōu)秀和成績(jī)良好兩個(gè)等次，若某同學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，則給予班級(jí)10分的班級(jí)積分，若成績(jī)良好，則給予班級(jí)5分的班級(jí)積分．假設(shè)甲、乙、丙成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為 ， ， ，他們的競(jìng)賽成績(jī)相互獨(dú)立．
（1）求在該次競(jìng)賽中甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率；
（2）記在該次競(jìng)賽中甲、乙、丙三名同學(xué)所得的班級(jí)積分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：記“甲成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀”為事件A，“乙成績(jī)優(yōu)秀”為事件B，“丙成績(jī)優(yōu)秀”為事件C，

“甲、乙、丙至少有一名成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀”為事件E，

∵事件A、B、C是相互獨(dú)立事件，事件ABC與事件E是對(duì)立事件，

∴P（E）=1﹣P（ ）=1﹣ =

（2）解：ξ的所有可能取值為15，20，25，30，

P（ξ=15）=P（ ）= = ，

P（ξ=20）=P（A ）+P（ ）+P（ ）= + + = ，

P（ξ=30）=P（ABC）= = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	15	20	25	30
P

Eξ= =

【解析】（1）記“甲成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀”為事件A，“乙成績(jī)優(yōu)秀”為事件B，“丙成績(jī)優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀”為事件E，由事件A、B、C是相互獨(dú)立事件，事件ABC與事件E是對(duì)立事件，能求出在該次競(jìng)賽中甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率．（2）ξ的所有可能取值為15，20，25，30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．