【題目】設函數(shù).
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)如果且關于的方程有兩解, (),證明.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:
(1)求解函數(shù)的導函數(shù),分類討論可得:
①若,則當時,數(shù)單調(diào)遞減,當時, 函數(shù)單調(diào)遞增;
②若,函數(shù)單調(diào)遞增;
③若,則當時,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,函數(shù)單調(diào)遞增.
(2)原問題即證明,構(gòu)造新函數(shù) ,結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)和題意即可證得結(jié)論.
試題解析:
(1)由,可知 .
因為函數(shù)的定義域為,所以,
①若,則當時, ,函數(shù)單調(diào)遞減,當時, ,函數(shù)單調(diào)遞增;
②若,則當在內(nèi)恒成立,函數(shù)單調(diào)遞增;
③若,則當時, ,函數(shù)單調(diào)遞減,當時, ,函數(shù)單調(diào)遞增.
(2)要證,只需證.
設 ,
因為,
所以為單調(diào)遞增函數(shù).
所以只需證,
即證,
只需證 .(*)
又, ,
所以兩式相減,并整理,得 .
把 代入(*)式,
得只需證,
可化為.
令,得只需證.
令(),
則 ,
所以在其定義域上為增函數(shù),
所以.
綜上得原不等式成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),且的導數(shù)為.
(Ⅰ)若是定義域內(nèi)的增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若方程有3個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 滿足3an﹣2Sn﹣1=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)bn= ,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 求f(n)= (n∈N+)的最大值.
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【題目】某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家.為掌握各類超市的營業(yè)情況,現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本,應抽取中型超市( )
A.70家
B.50家
C.20家
D.10家
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【題目】某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗,已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級籽棉2噸、二級籽棉1噸;生產(chǎn)乙種棉紗1噸需耗一級籽棉1噸,二級籽棉2噸.每1噸甲種棉紗的利潤為900元,每1噸乙種棉紗的利潤為600元.工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計劃中,要求消耗一級籽棉不超過250噸,二級籽棉不超過300噸.問甲、乙兩種棉紗應各生產(chǎn)多少噸,能使利潤總額最大?并求出利潤總額的最大值.
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【題目】某校從參加高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出80名學生,其數(shù)學成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖,估計這次測試中數(shù)學成績的平均分、眾數(shù)、中位數(shù)分別是( )
A.73.3,75,72
B.72,75,73.3
C.75,72,73.3
D.75,73.3,72
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【題目】在三棱錐ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是邊長為2的正三角形,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AA1= ,P、Q分別是AB、AC上的點,且PQ∥BC.
(1)若平面A1PQ與平面A1B1C1相交于直線l,求證:l∥B1C1;
(2)當平面A1PQ⊥平面PQC1B1時,確定點P的位置并說明理由.S.
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