Question

19．在f₁（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，f₂（x）=x²，f₃（x）=2^x，f₄（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)x₁＞x₂＞1時(shí)，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立的函數(shù)是f₁（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）表示連接兩點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)小于f（x）在曲線AB中點(diǎn)（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$））的縱坐標(biāo)，即f（x）的圖象“上凸”，由此判斷出結(jié)論即可．

解答 解：當(dāng)x₁＞x₂＞1時(shí)，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
表示連接兩點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)
小于f（x）在曲線AB中點(diǎn)（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$））的縱坐標(biāo)，
也就是說(shuō)f（x）的圖象“上凸”的，
所以只需判斷哪個(gè)函數(shù)的圖象“上凸”即可；
由圖形可直觀得到：當(dāng)x＞1時(shí)，B，C，D 的圖象都不是上凸的，
只有f₁（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x}$為“上凸”的函數(shù)．
故答案為：f₁（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．