Question

4．（1）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（0，$\frac{5}{3}$）和B（1，1），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若拋物線y²=2px（p＞0）上的一點(diǎn)M 到焦點(diǎn)及對稱軸的距離分別為10和6，求拋物線的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1，（其中m、n為正數(shù)且m≠n），代點(diǎn)可得m和n的方程組，解方程組可得；
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，±6），利用點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，可得$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{p}{2}=10}\\{36=2px}\end{array}\right.$，求出p，即可求拋物線的方程．

解答 解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1，（其中m、n為正數(shù)且m≠n），
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（0，$\frac{5}{3}$）和B（1，1），∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{9}n=1}\\{m+n=1}\end{array}\right.$，解方程組可得m=$\frac{16}{25}$，n=$\frac{9}{25}$，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{16}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{25}{9}}$=1；
（2）∵點(diǎn)M到對稱軸的距離為6，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，±6）．
∵點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{p}{2}=10}\\{36=2px}\end{array}\right.$
解得p=2或p=18，
所以拋物線方程是y²=4x 或y²=36x．

點(diǎn)評 本題考查橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，設(shè)方程為mx²+ny²=1可避免分類討論，是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．