Question

【題目】已知兩點A(－，0)，B(，0)，動點P在y軸上的投影是Q，且.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)過F(1，0)作互相垂直的兩條直線交軌跡C于點G，H，M，N，且E1，E2分別是GH，MN的中點.求證：直線E1E2恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

（1）設(shè)出動點坐標，根據(jù)計算可得軌跡C的方程．（2）分兩種情況考慮，當兩直線的斜率都存在且不為0時，分別設(shè)出兩直線的方程，聯(lián)立方程組求得、的中點的坐標，從而得到直線的方程，再討論直線所過的定點為；當兩直線的斜率分別為0和不存在時，直線的方程為y＝0，也過點，從而可得結(jié)論成立．

試題解析：

(1)解：設(shè)點P坐標為(x，y)，

∴點Q坐標為(0，y).

∵2·＝||2，

∴2[(－－x)(－x)＋y2]＝x2，

化簡得點P的軌跡方程為＋＝1.

(2)證明：①當兩直線的斜率都存在且不為0時，

設(shè)直線的方程為y＝k(x－1)，則直線的方程為y＝ (x－1)．

由消去y整理得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

則Δ>0恒成立.

設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)，

則x1＋x2＝，且x1x2＝.

∴GH中點E1坐標為，

同理，MN中點E2坐標為，

∴，

∴直線的方程為，

整理得y＝，

∴直線過定點．

②當兩直線的斜率分別為0和不存在時，直線的方程為y＝0，也過點．

綜上所述直線過定點．