Question

已知函數(shù)．

(1)當a=1時，求曲線在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)當a>0時，若f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的值；

(3)若對任意，且恒成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）（2）.（3）.

【解析】

試題分析：（1）當時，.

利用切線的斜率等于在切點處的導函數(shù)值，可得斜率得解.

（2）函數(shù)的定義域是. 根據(jù)當時、當、當時、當時等 幾種情況，“求導數(shù)，求駐點，討論區(qū)間單調(diào)性，確定函數(shù)的最值”，建立的方程.

（3）設，問題轉(zhuǎn)化成“只要在上單調(diào)遞增即可.”

當時，根據(jù)，知在上單調(diào)遞增；

當時，只需在上恒成立，問題轉(zhuǎn)化成“只要”.

（1）當時，.

因為. 2分

所以切線方程是 3分

（2）函數(shù)的定義域是.

當時，

令，即，

所以或. 6分

當，即時，在［1，e]上單調(diào)遞增，

所以在［1，e]上的最小值是，解得； 7分

當時，在［1，e]上的最小值是，即令，，

，而，，不合題意； 9分

當時，在[1，e]上單調(diào)遞減，

所以在［1，e]上的最小值是，解得，不合題意

所以.

（3）設，則，

只要在上單調(diào)遞增即可. 11分

而

當時，，此時在上單調(diào)遞增； 12分

當時，只需在上恒成立，因為，只要，

則需要， 13分

對于函數(shù)，過定點（0，1），對稱軸，只需，

即. 綜上. 14分

考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，導數(shù)的幾何意義，不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.