Question

2．（1）求函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{x+2}}}{x}$+（x-3）⁰的定義域．
（2）求函數(shù)y=2x-$\sqrt{x-1}$的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)解析式有意義，列不等式組求解．
（2）利用換元法求解函數(shù)的值域．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{x+2}}}{x}$+（x-3）⁰
其定義域需滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥0}\\{x≠0}\\{x-3≠0}\end{array}\right.$．
解得：x≥-2且x≠0，x≠3．
∴函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{x+2}}}{x}$+（x-3）⁰的定義域?yàn)閧x|x≥-2且x≠0，x≠3}．
（2）函數(shù)y=2x-$\sqrt{x-1}$，
令t=$\sqrt{x-1}$，（t≥0），那么x=t²+1．
則函數(shù)y=2x-$\sqrt{x-1}$轉(zhuǎn)化為f（t）=2（t²+1）-t．
整理得：f（t）=2t²-t+2．（t≥0）
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
開口向上，對稱軸t=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)f（t）取得最小值為$\frac{15}{8}$．
∴函數(shù)y=2x-$\sqrt{x-1}$的值域?yàn)閇$\frac{15}{8}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)定義域求法就是列出函數(shù)解析式有意義的不等式組；考查了函數(shù)的值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．