Question

11．若函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x在（a，17-a²）上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（-4，1）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最值性，得到在（a，17-a²）內(nèi)存在極大值即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=-x²+1，
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x=1時函數(shù)取得極大值，
當x=-1時，函數(shù)取得極小值，
若f（x）在（a，17-a²）上有最大值，
則函數(shù)f（x）在在（a，17-a²）上不單調(diào)，且在（a，17-a²）內(nèi)存在極大值，
即1∈（a，17-a²），
則$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{17-{a}^{2}＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{{a}^{2}＜16}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{-4＜a＜4}\end{array}\right.$，解得-4＜a＜1，
故答案為：（-4，1）

點評 本題主要考查函數(shù)最值的應用，根據(jù)函數(shù)極值和最值的關(guān)系，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．