Question

6．圓C的圓心C（1，2），該圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l：x+y+1=0的距離的最小值為$\sqrt{2}$．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)C作兩條互相垂直的直線與直線l交于A，B兩個(gè)點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心到直線的距離d=$\frac{|1+2+1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，利用圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l：x+y+1=0的距離的最小值為$\sqrt{2}$，求出圓的半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意，求|AB|的最小值，即求C到直線距離的最小值．

解答 解：（1）圓心到直線的距離d=$\frac{|1+2+1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l：x+y+1=0的距離的最小值為$\sqrt{2}$，
∴圓的半徑為$\sqrt{2}$，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-2）²=2；
（2）由題意，求|AB|的最小值，即求C到直線距離的最小值，
∵圓心到直線的距離為2$\sqrt{2}$，
∴|AB|的最小值為4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查點(diǎn)到直線距離的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．