Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

ax+ a

（a＞0且a≠1）．
（1）求f(

1

2

)和f(

1

3

)+f(

2

3

)的值；
（2）求

99

k=1

f(

k

100

)=f(

1

100

)+f(

2

100

)+…+f(

99

100

)的值；
（3）令b_n=

a f(n)

f(1-n)

，先猜想對一切自然數(shù)n，使b_n＞n²恒成立的最小自然數(shù)a的值，然后再證明．

Answer 1

分析：（1）分別令x=

1

2

，

1

3

，

2

3

代入f（x）化簡即可求出f（

1

2

），f（

1

3

）+f（

2

3

）的值．
（2）觀察題中的條件給出了一系列函數(shù)值但首尾自變量之和為1因此需證明當自變量之和為1時函數(shù)值之和的關(guān)系即f（x）+f（1-x）=

ax

ax+ a

+

a1- 1 x

a1- 1 x + a

=1然后利用倒序相加即可求值．
（3）現(xiàn)分別令a=1，2，3…然后驗證是不是對一切自然數(shù)n都成立最后可以用數(shù)學歸納法說明理由即可．

解答：解：（1）令x=

1

2

可得f（

1

2

）=

a

a + a

=

1

2

再令x=

1

3

，

2

3

可得f（

1

3

）+f（

2

3

）=

a 1 3

a 1 3 + a

+

a 2 3

a 2 3 + a

=1
（2）∵

99

k=1

f(

k

100

)= f(

1

100

)+f(

2

100

)+…+f(

99

100

)①
∴

99

k=1

f(

k

100

)=f（

99

100

）+f（

98

100

）+…+f（

1

100

）②
∴①+②得2

99

k=1

f(

k

100

)=[f（

1

100

）+f（

99

100

）]+[f（

2

100

）+f（

98

100

）]+…+[f（

99

100

）+f（

1

100

）]
又∵f（x）+f（1-x）=

ax

ax+ a

+

a1- 1 x

a1- 1 x + a

=1③
∴

99

k=1

f(

k

100

)  =

99

2

（3）由（2）中的③可令x=n則f（n）+f（1-n）=1
∴b_n=

a f(n)

f(1-n)

=

a f(n)

1-f(n)

=

a × an an+ a

1- an an+ a

=aⁿ
猜想對一切自然數(shù)n，使b_n＞n²恒成立的最小自然數(shù)a的值為3．下面用數(shù)學歸納法給出證明：
當n=1時，左邊=3，右邊=1∴左邊＞右邊
假設(shè)當n=k（k≥1且k∈N₊）時不等式成立即a^k＞k²即3^k＞k²
   則當n=k+1時3^k+1=3×3^k＞3×k²
   而3k²-（k+1）²=2k²-2k-1≥0對k≥2且k∈N₊恒成立
∴3^k+1＞（k+1）²
∴當n=k+1時也成立
∴對一切自然數(shù)n都有3ⁿ＞n²即對一切自然數(shù)n，使b_n＞n²恒成立的最小自然數(shù)a的值為3．

點評：本題主要考查了函數(shù)的求值，數(shù)列的求和，用數(shù)學歸納法證明不等式．第一問較簡單屬基礎(chǔ)題．第二問考查了當自變量具有某中關(guān)系時函數(shù)值之和也具有某種關(guān)系采用倒序相加法求數(shù)列的和．第三問考查了數(shù)學歸納法的定義而用數(shù)學歸納法證明有關(guān)n的不等式時一定要注意第二步一定要利用假設(shè)來推導(dǎo)當n=k+1時命題也成立，否則就是“假證”．