Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m+1}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}+1}$=1的焦點為F₁，F(xiàn)₂，點P在雙曲線上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則△PF₁F₂的面積的最小值為（　�。�

• A． m
• B． m²+1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由雙曲線的方程求出a、b、c和m的范圍，由向量的數(shù)量積性質(zhì)和條件得$\overrightarrow{P{F}_{1}}⊥\overrightarrow{P{F}_{2}}$，由勾股定理求出$|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$，再由雙曲線的定義兩邊平方后求出$|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$，聯(lián)立方程后求出|PF₁||PF₂|的值，即可求出△PF₁F₂的面積的最小值．

解答 解：由題意得，m²+1＞0，
所以雙曲線的焦點在x軸上，且m+1＞0，則m＞-1，
則a²=m+1，b²=m²+1，所以c²=a²+b²=m²+m+2，
因為$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，所以$\overrightarrow{P{F}_{1}}⊥\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
則$|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$=|${F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$=4c²，
由||PF₁|-|PF₂||=2a得，$|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=4{a}^{2}$，
所以$|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|+4{a}^{2}$，
則4c²=2|PF₁||PF₂|+4a²，即|PF₁||PF₂|=2（c²-a²）=2b²，
所以△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|$=b²=m²+1，
因為m＞-1，所以當(dāng)m=0時△PF₁F₂的面積取到最小值是1，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，向量的數(shù)量積性質(zhì)，以及化簡、變形能力，屬于中檔題．