Question

12．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．求：
（1）BC₁與AB₁所成的角；
（2）求BD₁與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由BC₁∥AD₁，得∠D₁AB₁是BC₁與AB₁所成的角，由此能求出BC₁與AB₁所成的角．
（2）由DD₁⊥平面ABCD，得∠D₁BD是BD₁與平面ABCD所成角，由此能求出BD₁與平面ABCD所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵BC₁∥AD₁，∴∠D₁AB₁是BC₁與AB₁所成的角，
∵AD₁=AB₁=B₁D₁，
∴∠D₁AB₁=60°，
∴BC₁與AB₁所成的角為60°．
（2）∵DD₁⊥平面ABCD，∴∠D₁BD是BD₁與平面ABCD所成角，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
則BD=$\sqrt{2}$，BD₁=$\sqrt{3}$，
∴cos∠D₁BD=$\frac{BD}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴BD₁與平面ABCD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查線面角的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．