Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求展開式中x^-2的系數(shù)；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)展開式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列求得 n=8，令x的冪指數(shù)等于-2，求得r的值，可得展開式中x^-2的系數(shù)．
（2）由于第r+1項(xiàng)的系數(shù)為

C

r 8

•2^-r，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)滿足r=2，或 r=3，從而求得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答： 解：（1）（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

•2^-r•x

2n-3r

4

，
根據(jù)展開式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列可得 2×

n

2

=1+

n(n-1)

8

，∴n=1（舍去），或 n=8．
令 

2×8-3r

4

=-2，求得r=8，可得展開式中x^-2的系數(shù)

C

8 8

•2^-8=

1

256

．
（2）由于第r+1項(xiàng)的系數(shù)為

C

r 8

•2^-r，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得系數(shù)最大的項(xiàng)滿足r=2，或 r=3，
故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₃=

C

3 8

=7x

5

2

，或 T₄=

C

4 8

=7x

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．