Question

Z=

(x-y)2+( 2 x + y 2 )2

（x≠0）的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：令a=

1

2

、b=1代入柯西不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，再用基本不等式可得答案．

解答： 解：令a=

1

2

、b=1、x取x-y、y取

2

x

+

y

2

代入柯西不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，
（

1

4

+1）（（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²）≥[

1

2

(x-y)+(

2

x

+

y

2

)]²=（

2

x

+

x

2

）²，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，由基本不等式知

2

x

+

x

2

≥2，故x＜0時(shí)，

2

x

+

x

2

≤-2，
∴（

2

x

+

x

2

）²≥4
∴（

1

4

+1）[（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²]≥[

1

2

(x-y)+(

2

x

+

y

2

)]²=（

2

x

+

x

2

）²≥4，
∴[（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²]≥

16

5

，
∴Z=

(x-y)2+( 2 x + y 2 )2

≥

16 5

=

4 5

5

，Z的最小值為

4 5

5

，
故答案為：

4 5

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，柯西不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²中a、b、x、y各取何值是解題的關(guān)鍵．