Question

已知函數(shù)f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）．
（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；
（2）求函數(shù)的增區(qū)間，并求出當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域；
（3）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得它的最小正周期和最大值．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可得到所求的增區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

），由周期公式可得：T=

2π

2

=π．
∵sin（2x-

π

4

）≤1，
∴f（x）_max=1+

2

．
（2）∵令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，（k∈Z）
∴函數(shù)的增區(qū)間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈Z）
∵x∈[-

π

4

，

π

2

]
∴2x-

π

4

∈[-

3π

4

，

3π

4

]
∴sin(2x-

π

4

)min=-1，sin(2x-

π

4

)max=1，從而可解得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1-

2

，1+

2

]；
（3）將y=sinx的圖象先向右平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

 （縱坐標(biāo)不變），然后把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的

2

倍（橫坐標(biāo)不變），
再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性、最值、單調(diào)增區(qū)間以及它的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．