Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+x為奇函數(shù)，且f（1）-f（-1）=4．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若對(duì)于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c²-9c恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，采用比較系數(shù)的方法可得b=0，代入原函數(shù)再結(jié)合等式f（1）-f（-1）=4，可得實(shí)數(shù)a的值；
（2）由（1）得f（x）=x³+x，利用導(dǎo)數(shù)工具得到函數(shù)是R上的增函數(shù)，從而在區(qū)間[0，2]上的最大值為f（2）=10，再結(jié)合f（x）＜c²-9c恒成立，說(shuō)明f（x）的最大值也小于c²-9c，建立不等關(guān)系可解得實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+x為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）對(duì)任意x∈R恒成立
即：-ax³+bx²-x=-ax³-bx²-x⇒2bx²=0任意x∈R恒成立
∴b=0，可得f（x）=ax³+x
∵f（1）-f（-1）=4
∴a+1-（-a-1）=4⇒a=1
綜上所述，得a=1，b=0
（2）由（1）得f（x）=x³+x，
求導(dǎo)數(shù)得f′（x）=3x²+1＞0對(duì)任意x∈R恒成立
∴f（x）是R上的增函數(shù)．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）的最大值為f（2）=10
∵對(duì)于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c²-9c恒成立
∴10＜c²-9c⇒c²-9c-10＞0⇒c＜-1或c＞10
綜上所述，得實(shí)數(shù)c的取值范圍為c∈（-∞，-1）∪（10，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題以三次多項(xiàng)式函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其綜合等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．本題中處理不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，利用了函數(shù)的最值，是解決此類問(wèn)題的最常用方法．