Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lg（x2+tx+2）（t為常數(shù)，且﹣2 ＜t＜2 ）．
（1）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的實(shí)數(shù)a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2）．若存在，求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令g（x）=x2+tx+2對(duì)稱軸為x=﹣ ，

② 當(dāng)﹣ ≤0，即t≥0時(shí)，g（x）min=g（0）=2，∴f（x）min=lg2；

②當(dāng)0＜﹣ ＜2，即﹣4＜t＜0時(shí)，g（x）min=g（﹣ ）=2﹣ ，

考慮到g（x）＞0，則

1°﹣2 ＜t＜0，f（x）min=f（﹣ ）=lg（2﹣ ），

2°﹣4＜t≤﹣2 ，沒(méi)有最小值．

③當(dāng)﹣ ≥2，即t≤﹣4時(shí)，g（x）min=g（2）=6+2t，

考慮到g（x）＞0∴f（x）沒(méi)有最小值．

綜上所述：當(dāng)t≤﹣2時(shí)f（x）沒(méi)有最小值；

當(dāng)t＞﹣2時(shí)，f（x）min=

（2）解：假設(shè)存在，則由已知等價(jià)于x2+tx+2=x在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，

等價(jià)于t=﹣（ +x）+1，x∈（0，2）

t′=﹣1+ ，x∈（0， ），t′＞0；x∈（ ，2），t′＜0．

x= 取最大值1﹣2 ．x=2，t=﹣2．

可得﹣2＜t＜1﹣2 ．

故存在，實(shí)數(shù)t的取值范圍是﹣2＜t＜1﹣2

【解析】（1）令g（x）=x2+tx+2，要求函數(shù)f（x）的最小值，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，只要求解函數(shù)g（x）的最小值即可，結(jié)合圖象，需判斷對(duì)稱軸與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系，分類討論；（2）假設(shè)存在，則由已知等價(jià)于x2+tx+2=x在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，分離參數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出右邊的最值和范圍，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最值及其幾何意義和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，需要了解利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担划�(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，才能得出正確答案．