Question

如圖，四棱錐中，，，，平面⊥平面，是線段上一點，，．

（1）證明：⊥平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】

試題分析：（1）要證⊥平面，只須證明與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可，對于的證明，只需要根據(jù)題中面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)即可得出，對于的證明，這需要在平面的直角梯形中根據(jù)及得出，進(jìn)而可得出，問題得以證明；（2）分別以、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而寫出有效點的坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量，由確定該法向量的一個坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)線面角的向量計算公式即可得出直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：由已知條件可知：在中，，所以

在中，，所以

所以……①

又因平面⊥平面，面……②

由①②及可得⊥平面

（2）如圖分別以、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系

則，,,

所以，

設(shè)平面的法向量，則有：

即，取，則

設(shè)直線直線與平面所成角為，有

所以直線與平面所成角的正弦值為.

考點：1.空間中的垂直關(guān)系；2.空間向量在解決空間角中的應(yīng)用.