Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x+b（a＜0），設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=0的兩實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，f（x）=x的兩實(shí)根為α，β，且|α-β|=1．
（1）若a，b均為負(fù)整數(shù)，求f（x）解析式；
（2）若α＜1＜β，求（x₁+a）（x₂+a）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)f（x）=x的兩實(shí)根為α、β，可列出方程用a，b表示兩根α，β，根據(jù)|α-β|=1，可求出a、b滿足的關(guān)系式．
根據(jù)a、b均為負(fù)整數(shù)，從而求出f（x）解析式．
（2）因?yàn)殛P(guān)于x的方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，用a和b表示出（x₁+a）（x₂+a），討論a，b的關(guān)系可得（x₁+a）（x₂+a）的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=x，
∴ax²+4x+b=x，由題意知，
∴a²+4ab-9=0；
∵a、b均為負(fù)整數(shù)，a²+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x²+4x-2
（2）令g（x）=ax²+3x+b，
由于關(guān)于x的方程f（x）=0的兩實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，則
所以（x₁+a）（x₂+a）=x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²= 
=
由α＜1＜β，且|α-β|=1得，0＜α＜1＜β＜2，
所以
解得-3＜a＜-1，即1＜a²＜9，
由函數(shù)y（t）=在（0，）上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
而t=a²∈（1，9），則y（t）∈[3，），故所求取值范圍為[-，5）
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了確定函數(shù)式，方程與函數(shù)的關(guān)系，以及求一元二次方程的求根公式的應(yīng)用．