【題目】已知函數(shù).
(1)當,時,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(3)在(1)的條件下,證明:(其中為自然對數(shù)的底數(shù))
【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析
【解析】試題分析:(1)對函數(shù),求導,根據(jù),,即可求出與,從而可求出函數(shù)在處的切線方程;(2)當時,根據(jù)函數(shù)的導數(shù),再通過討論的范圍求出函數(shù)的單調區(qū)間即可;(3)在(1)的條件下,問題可轉化為證明,設,問題可轉化為,恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可.
試題解析:(1)
∵
∴
∴
當
∴
當
,令,令
∴單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為
同理,當時,單調增區(qū)間為,無減區(qū)間,當時, 單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為.
⑶當,時,要證,只需證.
,則,
∴在上單調遞增
又∵
∴存在唯一當實數(shù)使得
∴
∴
∴不等式得證
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【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系中,已知直線: (為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的直角坐標方程;
(2)設點的極坐標為,直線與曲線的交點為, ,求的值.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線是圓心為,半徑為1的圓.
(1)求曲線, 的直角坐標方程;
(2)設為曲線上的點, 為曲線上的點,求的取值范圍.
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【題目】已知四棱錐,底面為菱形,,為上的點,過的平面分別交,于點,,且平面.
(1)證明:;
(2)當為的中點,,與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,已知點為曲線上的動點,點在線段上,且滿足,動點的軌跡為.
(1)求的直角坐標方程;
(2)設點的極坐標為,點在曲線上,求的面積的最大值.
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【題目】在四面體S﹣ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,則該四面體的外接球的表面積為
A. 11π B. C. D.
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【題目】某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系,對該校200名高三學生平均每天課外體育鍛煉時間進行調查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)
將學生日均課外體育鍛煉時間在的學生評價為“課外體育達標”.
(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表;
課外體育不達標 | 課外體育達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
(2)通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關?
參考格式:,其中
0.025 | 0.15 | 0.10 | 0.005 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 2.072 | 6.635 | 7.879 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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