Question

已知點(diǎn)A為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B為圓（x-1）²+y²=1上任意一點(diǎn)，求|AB|的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：圓（x-1）²+y²=1的圓心C（1，0），半徑r=1．設(shè)A（5cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π））．利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性可得|AC|的最大值，進(jìn)而得出|AB|的最大值．

解答： 解：圓（x-1）²+y²=1的圓心C（1，0），半徑r=1．
設(shè)A（5cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π））．
則|AC|=

(5cosθ-1)2+(3sinθ)2

=

16cos2θ-10cosθ+10

=

16(cosθ- 5 16 )2+ 135 16

≤

36

=6，
當(dāng)cosθ=-1時，取等號．
∴|AB|=|AC|+r的最大值為6+1=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性、橢圓的參數(shù)方程，考查了推理能力和技能數(shù)列，屬于中檔題．