已知f（x）=lnx-x2+bx+3．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，y）處的切線與直線2x+y+2=0垂直，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[1，m]上單調(diào)，求b的取值范圍．
【答案】分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），令x=2求出函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，y）的斜率，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，y）處的切線與直線2x+y+2=0垂直，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可知y=2x-在[1，m]上單調(diào)遞增，在[1，m]上恒成立，從而求出b的取值范圍．
解答：解：（1）直線2x+y+2=0斜率為-2，
令f/（2）=得b=4，∴f（x）=lnx-x2+4x+3
∴

∵6+ln3＞6，∴x=1時(shí)，f（x）在[1，3]上最小值6；（6分）
（2）令≥0得b≥2x-，
在[1，m]上恒成立而y=2x-在[1，m]上單調(diào)遞增，
最大值為2m-，∴b≥2m-
令≤0得b≤2x-，
在[1，m]上恒成立而y=2x-在[1，m]單調(diào)遞增，最小值為y=1，
∴b≤1
故b≥2m-或b≤1時(shí)f（x）在[1，m]上單調(diào)． （12分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，需要掌握并會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在（0，+∞）上的三個(gè)函數(shù)f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-a
x
，且g（x）在x=1處取得極值．
（1）求a的值及h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)1＜x＜e2時(shí)，恒有x＜
2+f(x)
2-f(x)
；
（3）把h（x）對(duì)應(yīng)的曲線C1向上平移6個(gè)單位后得到曲線C2，求C2與g（x）對(duì)應(yīng)曲線C3的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明道理．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=lnx，g(x)=x+
a
x
（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥1時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)n∈N*，n≥2時(shí)，證明：
ln2
3
•
ln3
4
•…•
lnn
n+1
＜
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=lnx-
a
x
．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上的最小值為
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=lnx，g（x）=x2-x，
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，g（x）≤2c2-c-x3恒成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=lnx+cosx，則f（x）在x=
π2
處的導(dǎo)數(shù)值為
 
．

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